東大入試問題で

数学的思考を磨く本

 

■著者/京極一樹

■本体価格/1500円

■発 行 2013年8月

■ISBN ISBN978-4-86059-130-4

■判 型 四六判

■ページ 247ページ

 


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あなたの"数学脳"を磨く厳選43題に挑戦!良問が多い東大入試問題のなかから、読者の数学的思考力アップに役立つ問題をピックアップ。目からウロコの発想。思わずうなる論証…etc.読むだけで数学的思考が磨かれます。

1章 中学生レベルでも解ける問題

1 円周率の意味がわかれば解ける…

「円周率>3.05」を証明せよという問題……………12

2 内容的には中学入試問題よりも簡単か?…

『コマ大数学科』で出題された50年前の問題… …20

3 当たり前に思えることをどう証明するか

東大入試史上もっとも簡単といわれた問題… ……22

4 ピタゴラスの定理で解くか重心で解くか…

中学生でも解ける? 空間図形の問題… ……………25

■入試問題に図が少ない理由… …………………………30

 

 

2章 高校で習う初歩的知識で解ける問題

●2次方程式と2次関数… ………………………………32

1 三角関数と不等式・領域がわかれば解ける…

教科書レベルの典型問題… ………………………… 38

2 座標平面にある座標はすべて実数!…

近年もっとも簡単と言われた問題……………………41

3 図が描けて円の方程式が書ければ解ける…

円のやさしい問題… ……………………………………44

4 図が描ければ解ける

回転角と整数の問題……………………………………48

C O N T E N T S

東大入試問題で数学的思考を磨く本

5 長文問題の中には驚くほど簡単な問題がある…

円の円周 ・ 長さと数列の問題… ……………………52

6 同じ記号が続くかどうかで確率が変わる

あまりに簡単な確率の問題……………………………56

 

 

3章 分析力を鍛える確率の問題

● 確率問題は何を求めているのか… …………………62

1 出目と余りの関係を分析する…

サイコロと割り算と数列の問題………………………70

2 出目の積と約数の関係を分析する…

サイコロと約数と数列の問題…………………………76

3 ブロックをm個積むとは何を意味するのか

「m回続けて成功する確率」の問題…………………80

4 すべて色がそろうにはどんなことが必要か

「n回目に初めて成功する確率」の問題… …………84

5 奇偶での配置の違いに気がつくか

めずらしく図があるマルコフ過程の問題……………90

 

 

4章 発想力を求めるグラフと図形の問題

● グラフと図形の問題は何を求めているのか… ……96

1 解けるなら簡単な方がいい!…

…頻出「相加平均≧相乗平均」で解ける問題……… 120

2 状況分析は慎重に!

相加平均≧相乗平均では解けない問題… ……… 122

3 いろんな解法に挑戦しよう!…

角度をあつかう正三角形の問題… ……………… 128

4 かならずしも角度が出ると思うな…

三角関数の振幅の問題…………………………… 138

5 幾何では解けない問題を三角関数で解く

正弦定理と余弦定理を組み合わせる問題… …… 141

6 余弦定理以外の三角関数を発想せよ!

長さの2乗を使うと解けない問題… ……………… 144

7 ベクトルは角度に強い!…

図形の角度にベクトルの内積を使う問題……… 150

8 ベクトル問題の稀代の名問:…

内分点にベクトルを使う問題……………………… 153

 

 

5章 論証力を問う整数問題

● 整数問題は何を求めているのか… ……………… 162

1 2桁整数は10a+b、

3桁整数は100a+10b+cで考える……………… 166

2 連続する整数には共通因数はない!

「隣り合う整数は互いに素」で解く問題… ……… 172

3 想像力が問われる新記号問題は…

ふつうの数との関係をどう表すかが課題… …… 178

4 方程式の数が未知数の数より少なくとも…

整数解なら得られる… ……………………………… 182

 

 

 

6章 試行錯誤と予測を楽しむ微積分の問題

● 微積分の問題は何を求めているのか… ………… 190

[文系微積分]

1 文系微積分は基礎知識の確認…その1…

図が描ければ解ける積分の問題… ……………… 206

2 文系微積分は基礎知識の確認…その2…

図さえ不要の簡単な積分の問題… ……………… 208

3 文系問題でも場合分けはキビシイ!

それさえわかれば容易な積分の問題… ………… 210

[理系微積分]

4 垂線の長さの公式は覚えていますか?

円の中心と弦による三角形の面積の問題… …… 216

5 視点のダイナミックな切り替えが必要!

縦横を切り換えると非常に簡単な問題… ……… 221

6 これぞ計算問題、うまい置き換えが重要!

むずかしそうで非常にやさしい定積分の問題…… 226

7 文章題から立体イメージが想像できるか…

空間想像力を試す体積の問題… ………………… 230

8 理系頻出、起きる現象が想像できるか…

回転体の体積を求めるやさしい問題… ………… 236

9 断面積をどうやって求めるかが鍵…

回転体の体積を求める稀代の名問… …………… 240

索引……………………………………………………………… 246

 

 


▶︎著者略歴

京極 一樹(きょうごく かずき)

 

1955 年生まれ。東京大学理学部物理学科卒。サラリーマンを 経た後、理工書の著作を長年にわたって行ってきた。読者が求 める情報や知識を、豊富な図解をまじえてわかりやすく解説す ることを信条とする。 主な著書に『中学・高校数学のほんとうの使い道』『中学・高 校物理のほんとうの使い道』『統計・確率のほんとうの使い道』 『中学・高校化学のほんとうの使い道』『うまく・早く・きれい に問題を解く数学再入門』『計算脳がパワーアップする算数入 門』『電池の「なぜ?」がわかると未来が見える』(以上、実業 之日本社刊)、『こんなにわかってきた素粒子の世界』『こんな にわかってきた宇宙の姿』『電池が一番わかる』(以上、技術評 論社刊)、『太陽電池のしくみ』『はやぶさのしくみ』『宇宙と素 粒子のしくみ』(以上、アスキーメディアワークス刊)などが ある。