入試数学 珠玉の名問

■著 者 京極一樹

■定 価 1700円

■発 行 2014年6月

■ISBN ISBN978-4-86059-141-0

■判 型 四六判

■ページ 270ページ

 


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あなたの"数学脳"を磨く厳選の114題

2013年8月の発売以降順調に版を重ねている『東大入試問題で数学的思考を磨く本』の続編となります。東大以外の大学に目を向けると、そこは入試問題の名問の宝庫。各大学の教授陣が心血を注いで練り上げる努力の結晶だからです。京大、阪大、北大など、難関大学の入試問題から114題を厳選しました。超難問を集めた本ではありません。解法をマスターすることで、高校数学のエッセンスを再履修し、数学的思考を磨く本です。

 

 

1.意外と多い公式証明問題

○定理や公式にはかならずその背景となる哲学がある 14

1 三角関数の加法定理の証明 (1999年 東大/文理共通) 16

2 三角関数の合成公式の証明 (2011年 佐賀大/理系) 21

3 三角関数の正弦定理の証明 (2008年 佐賀大/文系) 22

4 点と直線の距離の公式の証明 (2013年 阪大/文系) 23

5 等差数列と等比数列の和の公式の証明 (2009年 佐賀大/文系) 26

6 自然数列のn乗和の公式の証明 (2010年 九大/文系) 28

7 三角関数の極限公式の証明 (2013年 阪大/理系) 30

8 積分の平均値の定理の証明 (1999年 京大/理系後期) 32

9 原始関数の定数差の存在証明 (2014年 阪大/挑戦枠) 34

10 三角形の中線の交点の内分比の証明 (2010年 佐賀大/文系) 36

11 有理数・無理数は閉じているか (2007年 佐賀大/文系) 38

 

 

2.方程式・不等式など数学の基礎問題

○方程式・不等式は総合問題の構成要素 42

12 複2次式の因数分解 (2011年 横浜市大/医) 44

13 2次方程式の解と係数の関係 (2013年 芝浦工大) 46

14 3次方程式の解から係数を決める問題 (2011年 上智大/経済) 48

15 3次方程式が負の解を持つ条件の問題 (2002年 阪大/理系) 50

16 2つの3次方程式の実数解の問題 (1991年 京大/文系) 51

17 x+1/ xの応用問題 (2008年 早稲田大/商) 52 

18 4次の相反方程式の問題 (2008年 東海大/理工農) 53

19 3つの変数のうちの1つの最大値の問題 (2014年 早稲田大/人間科学) 56

20 対称式の値域を調べる問題 (2012年 京大/理系) 58

21 絶対値記号が表す領域を描く問題 (2013年 阪大/理系) 60

22 相加平均≧相乗平均で最小値を求める問題 (2001年 神戸薬科大) 62

23 相加平均≧相乗平均を利用する図形問題 (2012年 東大/文系) 64

24 シュワルツの不等式を使う問題 (2013年 東京医科歯科大) 66

25 チェビシェフの不等式が使える問題 (2010年 東京医科歯科大) 69

26 三角不等式が使えるベクトルの問題 (2012年 青山学院大/経済) 72

27 無理関数の和に三角不等式を使う問題 (2009年 信州大/後期・医) 74

28 実数の三角不等式の問題 (複数大学出題問題融合問題) 76

29 イェンゼンの不等式の問題 (2007年 青山学院大/経済) 78

30 sinαsinβsinγの最大値を求める問題 (1999年 京大/理系後期) 81

31 ベルヌーイの不等式で解くと簡単な問題 (2001年 東京女子医大) 84 

 

 

3.高頻出!数列・漸化式の問題

○数列と漸化式は入試問題の最重要テーマ 88

32 階差数列・分数数列の総合問題 (2011年 立命館大) 90

33 分数数列の和と不等式の証明問題 (2002年 一橋大) 92

34 等差数列の和の最大値の問題 (2008年 岩手大/教育) 94

35 等差数列・等比数列の項を決める問題(2006年 小樽商大) 96

36 等差数列×等比数列などの和の問題 (複数大学出題問題) 98

37 格子点の数を数える問題 (2014年 早稲田大/商) 100

38 やさしい群数列の問題 (2005年 群馬大) 102 

39 少しむずかしい群数列の問題 (2008年 北見工大) 104

40 2項間漸化式の問題…その1 (複数大学出題問題融合問題) 106

41 2項間漸化式の問題…その2 多項式型 (2008年 関西大/商) 110

42 2項間漸化式の問題…その3 公比型 (2010年 同志社大/理系) 112

43 2項間漸化式の問題…その4 逆数型 (2013年 福岡教育大) 114

44 2項間漸化式の問題…その5 分数型 (2008年 東北大) 116

45 3項間漸化式の問題 (2013年 関西大) 118

46 フィボナッチ数列の計算問題 (2012年 青山学院大/経済) 120

47 3項間漸化式の利用: 階段の昇り方 (2007年 京大/理系) 122

48 フィボナッチ数列の数学的帰納法による証明 (2001年 横浜国大) 124 49 数列の和を含む漸化式の問題 (2002年 京大/理系) 126

50 連立漸化式の問題 (2002年 三重大) 128 

 

 

4.三角関数・図形とベクトル・複素数の問題

○三角関数・図形・ベクトル・複素数の問題の特徴 132

51 tanの和・積の性質を証明する問題 (複数大学出題問題) 134

52 tan10°= tan20°tan30°tan40°の証明 (2013年 千葉大/数学) 136

53 sin18°の値を計算し利用する問題 (2006年 岡山県立大) 137

54 三角関数との複2次方程式の解の問題 (2007年 岩手大/教育) 138

55 チェビシェフの多項式の証明・計算問題 (2008年 慶応大/医) 140

56 半端な角度のcos値の和と積を求める問題 (2008年 慈恵医大) 142

57 角度比を与えた面積最大の三角形の問題 (2014年 京大/理系) 144

58 円に内接する四角形の辺の長さを求める問題 (2006年 東大/文系) 146

59 三角関数数列の問題 (2008年 九大) 148 

60 三角方程式の虚数解の問題 (2014年 京大/文系) 149

61 球に内接する正三角柱の最大体積の問題 (2014年 大阪市大) 150

62 3直線に内接する円の問題 (2014年 早稲田大/人間科学) 152

63 放物線上の正三角形の辺の長さの問題 (2004年 東大/文理共通) 153

64 2次関数の弦の中点の値域の問題 (2008年 東大/理系) 158

65 合同三角形が構成する四面体の体積の問題 (2014年 早稲田大/教育) 161

66 角度一定の軌跡の問題 (2008年 東大/文系) 162

67 線分の交点の内分比を求める問題 (2013年 京大/文理共通) 165

68 正三角柱の中の直角三角形の問題 (2000年 東工大) 167

69 四角柱を斜めに切る平行四辺形の面積の問題 (2014年 東大/理系) 170

70 複素数の数列が円を描く問題 (2005年 北大/理系) 172 

 

 

5.整数と確率の問題

○整数と確率の問題の特徴 176

71 不定方程式の整数解を求める問題 (複数大学出題問題) 178

72 整数の3乗差の整数問題 (2009年 一橋大) 180

73 不定不等式の整数解の数の問題 (2008年 一橋大) 182

74 x+y+z=xyzをみたす自然数の問題 (類題、2004年東京女子大) 183

75 1/x+1/y+1/z=1をみたす自然数の問題 (複数大学出題問題融合問題) 184

76 1/x、1/y、1/zを含む自然数の問題 (2011年 一橋大) 185

77 素数の2乗を自然数の3乗和で表す問題 (2004年 千葉大) 187

78 整数の各桁の数字をあつかう問題 (2007年 東大/文系) 188

79 3の剰余類を使って解く問題…その1 (2013年 阪大/理系) 190

80 3の剰余類を使って解く問題…その2 (2014年 京大/理系) 192

81 「隣り合う整数は互いに素」で解く計算問題 (2005年 東大/文理共通) 194 

82 「隣り合う整数は互いに素」を使う証明問題 (2013年 京大/文系) 195

83 4次式の整数係数を求める問題 (2002年 京大/理系) 196

84 整数漸化式の問題 (2010年 一橋大) 198

85 二項係数に関する整数問題 (2006年 早稲田大/政経) 201

86 約数の個数を数える問題 (2006年 東京理科大) 202

87 完全数を証明する問題 (2000年 佐賀大) 205

88 ガウス記号の計算問題 (2014年 早稲田大/商) 206

89 階乗に含まれる素数の数を数える問題 (2008年 早稲田大/教育) 208

90 3つのさいころの目の確率と期待値の問題 (2014年 大阪市大) 210

91 同じものを含む順列の最短経路問題 (2010年 関西学院大/理工) 213

92 数列を使う確率の問題…その1 (2011年 京大/文理共通) 216

93 数列を使う確率の問題…その2 (2012年 京大/文系) 217

94 確率過程のやさしい問題 (2013年 大阪教育大) 219

95 漸化式をつくって解く確率過程の問題 (2014年 京大/理系) 221 

 

 

6.関数・数列の極限値と微積分問題

○極限値と微積分の問題の特徴 224

96 関数の極限値を求める問題 (複数大学出題問題) 226

97 図形についての極限値の問題 (2011年 愛知教育大) 228

98 数列の極限値を求める問題 (頻出優秀問題) 230

99 三角関数・分数関数の交点数の問題 (2013年 東大/理系) 232

100 角度不明のままで最大値を求める問題 (2006年 京大/理系) 234

101 置換積分による定積分の問題 (2007年 京大/理系) 236

102 円と双曲線がはさむ領域の面積の問題 (2014年 京大/理系) 238

103 数列の無限和を積分で求める問題 (複数大学出題問題) 240 

104 確率の極限値計算に区分求積法を利用する問題 (2010年 京大/理系) 243

105 ガウス記号に区分求積法を組み合わせた問題 (2000年 阪大/理系) 244

106 n×無限小区間積分の極限値の問題 (早稲田大出題有名問題) 246

107 立方体の対角軸まわりの回転体積分の問題 (2010年 京大/文理共通) 248

108 トーラスとその内蔵球の体積比の問題 (2014年 阪大/理系) 252

109 極座標を求めて弧長を計算する問題 (2005年 岡山大) 254

110 不等式を微分して証明する問題 (2009年 東大/理系) 256

111 数列の無限和をはさみこみの原理で計算する問題 (2011年 東京医科歯科大) 258

112 積分不等式で対数値を評価する問題 (2007年 東大/理系) 260

113 誘導が完備した関数方程式の問題 (2009年 慈恵医大) 262

114 円錐状容器の排水の微分方程式の問題 (2006年 京大/理系後期) 266 

 

 


▶︎著者略歴

■京極 一樹(きょうごく かずき)

東京大学理学部物理学科卒。サラリーマンを経た後、理工書の 著作を長年にわたって行ってきた。読者が求める情報や知識を、 豊富な図解をまじえてわかりやすく解説することを信条とする。 主な著書に『東大入試問題で数学的思考を磨く本』(アーク出 版)、『中学・高校数学のほんとうの使い道』『中学・高校物理 のほんとうの使い道』『統計・確率のほんとうの使い道』『中学・ 高校化学のほんとうの使い道』『うまく・早く・きれいに問題 を解く数学再入門』『計算脳がパワーアップする算数入門』『電 池の「なぜ?」がわかると未来が見える』(以上、実業之日本 社刊)、『こんなにわかってきた素粒子の世界』『こんなにわか ってきた宇宙の姿』『電池が一番わかる』(以上、技術評論社刊)、 『太陽電池のしくみ』『はやぶさのしくみ』『宇宙と素粒子のし くみ』(以上、アスキーメディアワークス刊)などがある。